Melker Jonsson föddes onsdagen 10 juli 2002 i Helsingborg. Hans pappa, Mattias Jonson, spelade i Djurgården 2005–2011 och var med om både dubbeln 2005 och kvalspelet 2009. Efter karriären blev pappa Mattias styrelseledamot i Djurgården.

Melker Jonsson började spela fotboll med IFK Lidingö och debuterade så småningom i deras A-lag i division II norra Svealand som 16-åring under 2018. Lördagen 25 augusti 2018 blev han inbytt på Gamlis IP i den 81:a matchminuten av IFK Lidingös 31 bortavinst över Gamla Upsala SK. I Lidingökamraternas mål stod Jacob Widell Zetterström, som sedermera kom att bli lagkamrat även i Djurgården.

Följande vinter bytte Melker Jonsson IFK Lidingö mot Djurgårdens akademi. Sitt första år spelade han framför allt med U17-laget, som slutade trea i Allsvenskans norra vårserie och på tionde plats i slutspelsserien.

Som 18-åring skrev Melker Jonsson ett lärlingskontrakt med Djurgården sommaren 2020. Han debuterade för Djurgården och i Allsvenskan på tilläggstid i 31-vinsten hemma mot BK Häcken lördagen 1 augusti 2020. Under året spelade han även med U19-laget och var med och vann Allsvenskan norra 2020. Fortsättningsserien, dit de fem bästa lagen kvalificerade sig, avbröts.

2021 spelade han framför allt med U19-laget och bidrog till att laget kom trea i Allsvenskan norra. Han var med i den allsvenska matchtruppen vid ett tillfälle och spelade två matcher i Svenska cupens gruppspel på våren, varav en från start – 4⁠–⁠1-vinsten över Kalmar FF hemma på Tele2 arena lördagen 6 mars 2021 – samt en på hösten i kvalomgången till 2022 års gruppspel. Under 2021 blev Melker Jonsson utsedd till Farsan Sandbergpristagare som årets junior i Djurgården.